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“无限楼梯”中每个台阶的高度由斐波那契数列中的数字比率给出

十四年前，数学家Dusa McDuff和Felix Schlenk偶然发现了一个隐藏的几何花园，这个花园直到现在才开始开花。他们俩对某种椭圆形很感兴趣，一种可以以非常特殊的方式挤压和折叠并塞进一个球的形状中。他们想知道：对于特定的形状，这个球需要多大才可以容纳下？

当他们的结果开始具体化时，起初他们并没有注意到出现的引人注目的模式。但是一位回顾他们工作的同事发现了著名的斐波那契数，这些斐波那契数在自然界和几个世纪的数学中一次又一次地出现。例如，它们与崇高的黄金比例密切相关。

康奈尔大学的数学家Tara Holm表示：斐波那契数总是让数学家高兴。他们出现在McDuff和Schlenk的作品中是某种表明那里有些东西的迹象。

在2012年的《数学年鉴》（该期刊被广泛认为是该领域的顶级期刊）上他们发表了这个具有里程碑意义的结果。它揭示了具有无限多台阶的楼梯状结构的存在。这些“无限楼梯”中每一步的大小都是斐波那契数的比率。

McDuff和Schlenk的发表中发现一些奇怪的数字：随着楼梯的上升，台阶越来越小，楼梯的顶部与黄金比例相撞。黄金比例和斐波那契数都与在球内拟合形状的问题没有任何明显的关系。

然后今年早些时候，McDuff发现了这个谜团的另一条线索。她和其他几个人不仅揭示了无限多的楼梯，而且揭示了错综复杂的分形结构。佐治亚大学教授Michael Usher表示：我完全没有预料到会在这类问题中自然出现他们的结果。

这项工作揭示了看似无关的数学领域的隐藏模式。

运动的形状

物体保持其形状的这些问题不会发生在欧几里得几何世界中。相反，它们遵循辛几何的奇怪规则，其中形状代表物理系统。例如，考虑一个简单的钟摆。在任何给定时刻，钟摆的物理状态都由它的位置和运行速度来定义。如果你绘制这两个值的所有可能性——钟摆的位置和速度——你会得到一个看起来像无限长圆柱体表面的辛形状。

您只能以非常特殊的方式可以修改辛形状。最终结果必须反映相同的系统。唯一可以改变的是你如何衡量它。这些规则确保您不会弄乱基础物理。

McDuff和Schlenk一直在试图弄清楚他们什么时候可以将一个辛椭球体（一个细长的球体）放入一个球内。这种类型的问题，称为嵌入问题，在欧几里得几何中非常容易，因为形状根本不弯曲。这在几何的其他子领域也很简单，只要它们的体积不变，形状就可以随心所欲地弯曲。

辛几何更复杂。在这里，答案取决于椭球的“偏心率”，这个数字表示它的拉长程度。偏心度高的细长形状很容易折叠成更紧凑的形状，就像蛇盘绕起来一样。当偏心度较低时，事情就不那么简单了。

McDuff和Schlenk在2012年的论文计算了可以适合各种椭圆体的最小球的半径。他们的解决方案类似于基于斐波那契数的无限楼梯（一个数字序列，其中下一个数字始终是前两个数字的总和）。

在McDuff和Schlenk公布他们的结果后，数学家们不禁想知道：如果您尝试将椭圆体嵌入到球以外的其他物体中，例如四维立方体，会怎样？会弹出更多无限楼梯吗？

分形惊喜

随着研究人员在这里发现了一些无限的楼梯，然后在其他地方又发现了一些，结果逐渐浮出水面。然后在2019年，女性数学协会组织了为期一周的辛几何研讨会。在活动中，Holm和她的合作者Ana Rita Pires组建了一个工作组，其中包括McDuff和来自加州大学伯克利分校的刚毕业的博士Morgan Weiler。他们着手将椭球嵌入到一种具有无限多化身的形状中——最终允许它们产生无限多的楼梯。

Dusa McDuff 及其同事一直在绘制一个不断扩大的无限楼梯动物园

为了可视化小组研究的形状，请记住辛形状代表移动物体的系统。因为物体的物理状态使用两个量——位置和速度——辛形状总是由偶数个变量来描述。换句话说，它们是偶数维的。由于二维形状仅代表一个沿固定路径移动的物体，因此四维或更多的形状对数学家来说是最有趣的。

但是四维形状是不可能可视化的，这严重限制了数学家的可视化工具。作为部分补救措施，研究人员有时可以绘制二维图片，至少捕获一些关于形状的信息。根据创建这些2D图片的规则，一个4维球变成了一个直角三角形。

Holm和Pires小组分析的形状称为Hirzebruch曲面。每个Hirzebruch曲面都是通过切掉这个直角三角形的顶角获得。一个数字b衡量你砍掉了多少。当b为0时，您没有剪切任何东西；当它为1时，您几乎擦除了整个三角形。

最初，该组织的努力似乎不太可能取得成果。康奈尔大学博士后的韦勒说：“我们花了一周的时间研究它，但没有发现任何东西，”。到2020年初，他们仍然没有取得太大进展。McDuff回忆了Holm对他们将要写的论文标题：“没有运气在寻找楼梯”。

但该小组最终找到了立足点，并在2020年10月发布了一篇论文，为某些b值挖掘了无限阶梯。

康托集：从线段删除中间三分之一，删除每个剩余部分的中间三分之一，重复直到剩下的只是一组单独的点

去年3月，McDuff、Weiler和Nicki Magill（Holm的学生）合作发布了一份预印本，他们几乎完成了分析Hirzebruch表面中椭球嵌入的项目。“这太棒了，”霍尔姆说。“这个很漂亮。”

当他们继续做时，另一个惊喜出现了。如果您查看出现无限阶梯的所有b值，您会得到另一种分形结构——具有违反常识的特征的点排列。称为康托集，它比有理数有更多的点——但不知何故，康托集的点更加分散。

马里兰大学的数学家Daniel Cristofaro-Gardiner说：“他们真的用楼梯对称性绘制了这幅美丽的图画，我仍在努力完全吸收理解他们的方法。”

尽管新工作产生的无限楼梯比以前的任何结果都多，但辛嵌入及其伴随的楼梯仍然是一个谜，因为Hirzebruch曲面仅包含可能的辛形状的一小部分。“我仍然觉得我们有点在树林里，我们还没有完全达到云层，我们可以看到整个画面，”霍尔姆说。“这是一个激动人心的时刻，因为我认为我们会到达那里。”

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mt4如何删除斐波那契指标？mt4中斐波那契数列如何设置！

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